Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N^*，且n≥2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對n∈N^*，設(shè)S_n=$\frac{1}{a_1a_2}$+$\frac{1}{a_2a_3}$+$\frac{1}{a_3a_4}$+…+$\frac{1}{a_na_{n+1}}$，若S_n≥3t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，n∈N^*，n≥2，從而求通項(xiàng)公式；
（2）化簡$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）；從而求得S_n=$\frac{3n}{2n+3}$，n∈N^*，從而化為t$≤\frac{n}{2n+3}$恒成立，從而化為最值問題即可．

解答 解：（1）∵a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{2}{3}$+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，n∈N^*，n≥2；
∴{a_n}是等差數(shù)列，又∵a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2n+1}{3}$，n∈N^*．
（2）∵a_n=$\frac{2n+1}{3}$，∴a_n+1=$\frac{2n+3}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）；
∴S_n=$\frac{1}{a1a2}$+$\frac{1}{a2a3}$+$\frac{1}{a3a4}$+…+$\frac{1}{anan+1}$
=$\frac{9}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{3n}{2n+3}$，n∈N^*．
∵S_n≥3t，
∴t$≤\frac{n}{2n+3}$，又∵{$\frac{n}{2n+3}$}遞增，
∴當(dāng)n=1時，（$\frac{n}{2n+3}$）min=$\frac{1}{5}$，
∴t≤$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法及恒成立問題，關(guān)鍵在于裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．