Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsinx，給出下列四個(gè)說(shuō)法：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂，②點(diǎn)（π，0）是f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，
③f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)，④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

 

．（只填寫(xiě)序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=cosxsinx為：f（x）=

1

2

sin2x，利用奇函數(shù)判斷①的正誤；函數(shù)的對(duì)稱中心判斷②的正誤；利用單調(diào)性判斷③，對(duì)稱性判斷④的正誤即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
因?yàn)樗�是奇函�?shù)，又是周期函數(shù)，所以①不正確；
∵f（π）=0，∴點(diǎn)（π，0）是f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，正確；
③在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)；正確；
④當(dāng)x=

3π

4

時(shí)f（x）取得了最小值，故x=

3π

4

是對(duì)稱軸，所以正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，基本函數(shù)的性質(zhì)，掌握基本函數(shù)的性質(zhì)是本題解答的根據(jù)，強(qiáng)化基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，才能提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．