Question

19．設(shè)S為{1，2，…，9}的子集，且S中任意兩個(gè)不同的數(shù)之和所得的數(shù)兩兩不同，問：S中最多有多少個(gè)元素？

Answer 1

分析 當(dāng)S={1，2，3，5，8}時(shí)，S符合題目要求．如果T⊆{1，2，…，9}，由于T中任意兩個(gè)不同的數(shù)之和介于3和17之間，至多可以形成15個(gè)不同的和的數(shù)．而T中任取2個(gè)數(shù)，至少有C${\;}_{6}^{2}$=15種取法．如果T滿足條件，則所得和數(shù)中必須3與17同時(shí)出現(xiàn)，即1，2，8，9都在T中出現(xiàn)，但這時(shí)1+9=2+8，T不符合題意，故S中最多有5個(gè)元素．

解答 解：任取兩個(gè)，最大不超過17=8+9，最小不小于3=1+2，3到17一共15個(gè)數(shù)．
假設(shè)S中一共有n個(gè)元素，由于任意兩個(gè)都可以作和且兩兩不等，所以n個(gè)中任意取2個(gè)的取法應(yīng)該不超過15，得到C${\;}_{6}^{2}$=15，則n≤6．
如果S的元素個(gè)數(shù)為6，那么任意兩個(gè)元素的和恰好構(gòu)成3到17，而3=1+2，17=8+9，只有一種取法，所以S中應(yīng)該包含1，2，8，9，但是1+9=2+8，顯然是不符合的，所以S的元素個(gè)數(shù)不可能為6．
S的元素個(gè)數(shù)為5，可以看出S={1，2，3，5，8}符合題意．
所以S的元素個(gè)數(shù)最多為5．

點(diǎn)評(píng) 本題以集合與元素為數(shù)學(xué)模型，考查了數(shù)列規(guī)律性的探求問題，解題時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析，尋找問題的關(guān)鍵，得出結(jié)論．