16.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1},x∈({1,+∞})$的值域為[4,+∞).

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的零點,由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段,求出函數(shù)的極值,進一步求得函數(shù)的最值得答案.

解答 解:由$f(x)=\frac{x^2}{x-1},x∈({1,+∞})$,得
f′(x)=$\frac{2x(x-1)-{x}^{2}}{(x-1)^{2}}=\frac{{x}^{2}-2x}{(x-1)^{2}}$,
由f′(x)=0,得x=0(舍)或x=2.
∴當x∈(1,2)時,f′(x)<0,當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,
則當x=2時,函數(shù)取得極小值,也就是最小值為f(2)=4.
∴函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1},x∈({1,+∞})$的值域為[4,+∞).
故答案為:[4,+∞).

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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