Question

16．函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$的值域為[4，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，求出函數(shù)的極值，進一步求得函數(shù)的最值得答案．

解答 解：由$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$，得
f′（x）=$\frac{2x（x-1）-{x}^{2}}{（x-1）^{2}}=\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$，
由f′（x）=0，得x=0（舍）或x=2．
∴當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
則當x=2時，函數(shù)取得極小值，也就是最小值為f（2）=4．
∴函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$的值域為[4，+∞）．
故答案為：[4，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．