8.已知點(n,$\frac{{a}_{n}}{n}$)在二次函數(shù)f(x)=x2-10x+32的圖象上,若存在正整數(shù)k,當任意n>k(k∈N*)時,恒有an>ak,則k的最小值為4.

分析 點(n,$\frac{{a}_{n}}{n}$)在二次函數(shù)f(x)=x2-10x+32的圖象上,可得:$\frac{{a}_{n}}{n}$=n2-10n+32,化為an=n3-10n2+32n,令f(x)=x3-10x2+32x,x≥1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:∵點(n,$\frac{{a}_{n}}{n}$)在二次函數(shù)f(x)=x2-10x+32的圖象上,
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n2-10n+32,
∴an=n3-10n2+32n,
令f(x)=x3-10x2+32x,x≥1.
∴f′(x)=3x2-20x+32=(3x-8)(x-4),
令f′(x)>0,解得x>4或1≤x<$\frac{8}{3}$,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;令f′(x)<0,解得$\frac{8}{3}$<x<4,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
可知當x=4時,函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,f(4)=a4=43-10×42+32×4=32.
因此存在正整數(shù)k,當任意n>k(k∈N*)時,恒有an>ak,則k的最小值為4.
故答案為:4.

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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