Question

5．變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{4x+y-12≤0}\end{array}}\right.$，則（x-3）²+（y-3）²的范圍是[$\frac{9}{17}，9$]．

Answer 1

分析 由約束條件畫出可行域，然后利用（x-3）²+（y-3）²的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（3，3）距離的平方求解．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{4x+y-12≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
（x-3）²+（y-3）²的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（3，3）距離的平方．
∵|PA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3-1）^{2}}=\sqrt{8}$，
而P到x軸上的點(diǎn)（3，0）的距離為3，
點(diǎn)P（3，3）到直線4x+y-12=0的距離為$\frac{|4×3+3-12|}{\sqrt{17}}=\frac{3}{\sqrt{17}}$．
∴（x-3）²+（y-3）²的范圍是[$\frac{9}{17}，9$]．
故答案為：[$\frac{9}{17}，9$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．