Question

1．點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點(diǎn)（-2，$\frac{1}{4}$）在冪函數(shù)g（x）的圖象上．
（1）判斷f（x）與g（x）的奇偶性；
（2）設(shè)h（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x），是否存在x₁∈R，x₂∈（0，1]，使h（x₁）=g（x₂）？若存在，求x₁，x₂的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）求出函數(shù)h（x）和g（x）的取值范圍，判斷方程是否有解即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x^α，g（x）=x^β，
∵點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點(diǎn)（-2，$\frac{1}{4}$）在冪函數(shù)g（x）的圖象上．
∴f（$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{2}$）^α=2，即α=2，
g（-2）=（-2）^β=$\frac{1}{4}$=（-2）^-2，則β=-2，
即f（x）=x²，g（x）=x^-2，
則f（-x）=（-x）²=x²=f（x），g（-x）=（-x）^-2=x^-2=g（x），
故函數(shù)f（x）和g（x）都是偶函數(shù)．
（2）h（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}}$，
若x₁∈R，則x²≥0，則h（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{3}$]，
若x₂∈（0，1]，則g（x₂）=x₂^-2∈[1，+∞），
則h（x₁）=g（x₂）無解，
故不存在x₁∈R，x₂∈（0，1]，使h（x₁）=g（x₂）．

點(diǎn)評 本題主要考查冪函數(shù)的解析式的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．