Question

16．如圖，已知點(diǎn)P（2，0），且正方形ABCD內(nèi)接于⊙O：x²+y²=1，M、N分別為邊AB、BC的中點(diǎn)．當(dāng)正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)時(shí)，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，設(shè)M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），可得N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），然后寫出向量$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）和$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），從而得到$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{2}$sinα，進(jìn)而確定其范圍．

解答 解：設(shè)M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），
∴$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2）+$\frac{1}{2}$sinαcosα
=$\sqrt{2}$sinα，
∵sinα∈[-1，1]，
∴$\sqrt{2}$sinα∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了平面向量的實(shí)際運(yùn)用，重點(diǎn)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．