Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)列A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），…，滿足$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}+{y_n}）\;\\{y_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}-{y_n}）\;\end{array}$若A₁（1，1），則$\lim_{n→∞}（|O{A_1}|+|O{A_2}|+…+|O{A_n}|）$=$2+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知的數(shù)列遞推式得到數(shù)列{x_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{y_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)均為0，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)求得|OA_n|，再利用等比數(shù)列和的極限得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}+{y_n}）\;\\{y_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}-{y_n}）\;\end{array}$，得x_n=x_n+1+y_n+1，y_n=x_n+1-y_n+1，
∴x_n=x_n+1+y_n+1=x_n+2+y_n+2+x_n+2-y_n+2=2x_n+2，
y_n=x_n+1-y_n+1=x_n+2+y_n+2-x_n+2+y_n+2=2y_n+2，
∴${x}_{n+2}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，${y}_{n+2}=\frac{1}{2}{y}_{n}$，
∵x₁=1，y₁=1，∴x₂=1，y₂=0，
∴數(shù)列{x_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則${x}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
數(shù)列{y_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)均為0，
${y}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{0，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，$|O{A}_{n}|=\sqrt{2（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，$|O{A}_{n}|=（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}$，
∴$\lim_{n→∞}（|O{A_1}|+|O{A_2}|+…+|O{A_n}|）$
=$\sqrt{2}•\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=$2+2\sqrt{2}$．
故答案為：$2+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列極限的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．