Question

18．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量，求證：||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|，并說明取等號的條件．

Answer 1

分析 分向量共線與不共線的情況，利用向量加法、減法的三角形法則做出圖形，結(jié)合三角形的邊的關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行證明．

解答 證明：分三種情況考慮．
（1）當(dāng)a、b共線且方向相同時，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|．
（2）當(dāng)a、b共線且方向相反時，
∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），
利用（1）的結(jié)論有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|．
（3）當(dāng)a，b不共線時，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，作$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=a+b，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=a-b，
利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|．
綜上得證．

點評 本題主要考查了平面向量的共線與不共線時兩向量和（或差）的模與向量模的和（或差）的大小關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是要熟練運用向量的加法及減法的三角形法則（平行四邊形法則）．分類討論的數(shù)學(xué)思想要注意掌握．