【題目】已知函數(shù)．

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：在上僅有個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出和，然后利用點(diǎn)斜式寫出所求切線的方程；

（2）利用當(dāng)時(shí)，來(lái)說(shuō)明函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，并利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理證明出函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，并結(jié)合，可證明出函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

（1），則，，.

因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，由零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我們?cè)谇蟾叽畏匠袒虺椒匠痰慕平鈺r(shí)常用二分法求解，在實(shí)際生活中還有三分法.比如借助天平鑒別假幣.有三枚形狀大小完全相同的硬幣，其中有一假幣（質(zhì)量較輕），把兩枚硬幣放在天平的兩端，若天平平衡，則剩余一枚為假幣，若天平不平衡，較輕的一端放的硬幣為假幣.現(xiàn)有 27 枚這樣的硬幣，其中有一枚是假幣（質(zhì)量較輕），如果只有一臺(tái)天平，則一定能找到這枚假幣所需要使用天平的最少次數(shù)為（ ）

A.2B.3C.4D.5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C的圓心C在直線上，且與x軸正半軸相切，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線l過(guò)點(diǎn) 且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，若一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值介于90到120之間時(shí)，稱該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.

（1）計(jì)算該工廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.

（2）某用戶從該工廠購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.

（3）必須從這工廠中購(gòu)買多少件產(chǎn)品，才能使其中至少有1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率大于0.9？

①參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量)，則，，.

②計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到小數(shù)點(diǎn)后4位，例如：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為(　　)

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年6月13日，三屆奧運(yùn)亞軍，羽壇傳奇，馬來(lái)西亞名將李宗偉宣布退役，當(dāng)天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事件，某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事件跟帖中，隨機(jī)抽取了100名網(wǎng)友進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，先分別統(tǒng)計(jì)他們?cè)诟械牧粞詶l數(shù)，再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組；，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強(qiáng)烈關(guān)注”，否則為“一般關(guān)注”，對(duì)這100名網(wǎng)友進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.

（1）在答題卡上補(bǔ)全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)友對(duì)此事件是否為“強(qiáng)烈關(guān)注”與性別有關(guān)？

（2）該論壇欲在上述“強(qiáng)烈關(guān)注”的網(wǎng)友中按性別進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機(jī)抽取兩名接受訪談，記女性訪談?wù)叩娜藬?shù)為占，求5的分布列與數(shù)學(xué)期望.

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，一個(gè)正和一個(gè)平行四邊形ABDE在同一個(gè)平面內(nèi)，其中，，AB，DE的中點(diǎn)分別為F，G.現(xiàn)沿直線AB將翻折成，使二面角為，設(shè)CE中點(diǎn)為H.

（1）（i）求證：平面平面AGH；

（ii）求異面直線AB與CE所成角的正切值；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是定義在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意，都有，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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