【題目】已知函數(shù)
．
（1）求
在點
處的切線方程；
（2）求證：在
上僅有
個零點．
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出
和
，然后利用點斜式寫出所求切線的方程；
（2）利用當
時，
來說明函數(shù)
在
上沒有零點，并利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理證明出函數(shù)在區(qū)間
上有且只有一個零點，并結(jié)合
，可證明出函數(shù)在區(qū)間
上有兩個零點.
（1）
，則
，
，
.
因此，函數(shù)在點
處的切線方程為
，即；
（2）當時，
，此時，
，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點；
又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.
，構(gòu)造函數(shù)
，則
，
當
時，
，
所以，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
，由零點存在定理知，存在
，使得
，且當
時，
，當
時，
.
所以，函數(shù)在
處取得極小值，則
，
又
，所以
，由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.
綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我們在求高次方程或超越方程的近似解時常用二分法求解，在實際生活中還有三分法.比如借助天平鑒別假幣.有三枚形狀大小完全相同的硬幣，其中有一假幣（質(zhì)量較輕），把兩枚硬幣放在天平的兩端，若天平平衡，則剩余一枚為假幣，若天平不平衡，較輕的一端放的硬幣為假幣.現(xiàn)有 27 枚這樣的硬幣，其中有一枚是假幣（質(zhì)量較輕），如果只有一臺天平，則一定能找到這枚假幣所需要使用天平的最少次數(shù)為（ ）
A.2B.3C.4D.5
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓C的圓心C在直線
上，且與x軸正半軸相切，點C與坐標原點O的距離為
.
（1）求圓C的標準方程；
（2）直線l過點 
且與圓C相交于A，B兩點，求弦長
的最小值及此時直線l的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值
服從正態(tài)分布
，若一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值介于90到120之間時，稱該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.
（1）計算該工廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率
.
（2）某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品，記
表示這100件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望
.
（3）必須從這工廠中購買多少件產(chǎn)品，才能使其中至少有1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率大于0.9？
①參考數(shù)據(jù)：若隨機變量
)，則
，
，
.
②計算時，所有的小數(shù)都精確到小數(shù)點后4位，例如：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2019年6月13日，三屆奧運亞軍，羽壇傳奇，馬來西亞名將李宗偉宣布退役，當天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事件，某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事件跟帖中，隨機抽取了100名網(wǎng)友進行調(diào)查統(tǒng)計，先分別統(tǒng)計他們在跟帖中的留言條數(shù)，再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組；
，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強烈關(guān)注”，否則為“一般關(guān)注”，對這100名網(wǎng)友進一步統(tǒng)計，得到部分數(shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.
（1）在答題卡上補全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，并判斷能否有95%的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)？
（2）該論壇欲在上述“強烈關(guān)注”的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數(shù)為占，求5的分布列與數(shù)學期望.
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式與數(shù)據(jù)：
，其中
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個正
和一個平行四邊形ABDE在同一個平面內(nèi)，其中
，
，AB，DE的中點分別為F，G.現(xiàn)沿直線AB將翻折成
，使二面角
為
，設CE中點為H.
（1）（i）求證：平面
平面AGH；
（ii）求異面直線AB與CE所成角的正切值；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在區(qū)間
內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對任意
，都有
，設
為的導函數(shù)，，則函數(shù)
的零點個數(shù)為（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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