【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,直線l與C交于M,N兩點(diǎn).
(1)若l過點(diǎn)F,點(diǎn)M,N到直線y=2的距離分別為d1,d2,且,求l的方程;
(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),直線m過點(diǎn)M交C于另一點(diǎn)N′,當(dāng)直線l與m的斜率之和為2時(shí),證明:直線NN′過定點(diǎn).
【答案】(1)x﹣y﹣1=0或x﹣2y﹣1=0(2)證明見解析;
【解析】
(1)由若l過橢圓的右焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去x,得交點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)關(guān)系,因?yàn)辄c(diǎn)M,N到直線y=2的距離分別為d1,d2,則d1+d2=2﹣yM+2﹣yN=4﹣(yM+yN),轉(zhuǎn)化為m的方程,求得m即可.
(2)分類討論,當(dāng)直線NN'的斜率不存在和存在兩種情況,設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去一個(gè)變量,由韋達(dá)定理得出N,N'的坐標(biāo)的關(guān)系式,再由當(dāng)直線l與m的斜率之和為2,列出方程,求出直線方程,即可得直線NN'過定點(diǎn)(﹣1,﹣1).
(1)易知F(1,0),設(shè)直線l的方程為x=my+1,
由得(m2+2)y2+2my﹣1=0.則yM+yN.
因?yàn)?/span>d1+d2=2﹣yM+2﹣yN=4﹣(yM+yN)=4.
所以m=1或m=2.
故l的方程為x﹣y﹣1=0或x﹣2y﹣1=0.
(2)證明:當(dāng)直線NN'的斜率不存在時(shí),設(shè)N(x0,y0),則N'(x0,﹣y0).
由kl+km=2,得2,解得x0=﹣1.
當(dāng)直線NN'的斜率存在時(shí),
設(shè)直線NN'的方程為y=kx+t(t≠1),N(x1,y1),N'(x2,y2).
由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2﹣2=0.
所以x1+x2,x1x2;
因?yàn)?/span>kl+km=2.
所以2k2k2k2.
所以t=k﹣1,所以直線NN'的方程為y=kx+k﹣1,即y+1=k(x+1).
故直線NN'過定點(diǎn)(﹣1,﹣1).
綜上,直線NN'過定點(diǎn)(﹣1,﹣1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點(diǎn),是拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線,與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線平分弦,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn),.
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②求證:.
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【題目】我國法定勞動(dòng)年齡是周歲至退休年齡(退休年齡一般指男周歲,女干部身份周歲,女工人周歲).為更好了解我國勞動(dòng)年齡人口變化情況,有關(guān)專家統(tǒng)計(jì)了年我國勞動(dòng)年齡人口和周歲人口數(shù)量(含預(yù)測(cè)),得到下表:
其中年勞動(dòng)年齡人口是億人,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.年勞動(dòng)年齡人口比年減少了萬人以上
B.這年周歲人口數(shù)的平均數(shù)是億
C.年,周歲人口數(shù)每年的減少率都小于同年勞動(dòng)人口每年的減少率
D.年這年周歲人口數(shù)的方差小于這年勞動(dòng)人口數(shù)的方差
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,,分別為的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,分別是軸負(fù)半軸,軸負(fù)半軸上的點(diǎn),且四邊形的面積為2,設(shè)直線和的交點(diǎn)為,求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍
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【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款,大學(xué)生M的微信好友中有400位好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”.他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運(yùn)動(dòng)”的微信好友(女20人,男20人)在某天的走路步數(shù),經(jīng)統(tǒng)計(jì),其中女性好友走路的步數(shù)情況可分為五個(gè)類別:、步,(說明:“”表示大于或等于0,小于2000,以下同理),、步,、步,、步,、步,且、、三種類別的人數(shù)比例為,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖;男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若以大學(xué)生抽取的微信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布,作為參與“微信運(yùn)動(dòng)”的所有微信好友每天走路步數(shù)的概率分布,試估計(jì)大學(xué)生的參與“微信運(yùn)動(dòng)”的400位微信好友中,每天走路步數(shù)在的人數(shù);
(Ⅱ)若在大學(xué)生該天抽取的步數(shù)在的微信好友中,按男女比例分層抽取6人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,然后再從這6位微信好友中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪,求其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示多面體中,AD⊥平面PDC,四邊形ABCD為平行四邊形,點(diǎn)E,F分別為AD,BP的中點(diǎn),AD=3,AP=3,PC.
(1)求證:EF//平面PDC;
(2)若∠CDP=120°,求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,證明:對(duì)任意,存在,使得;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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