Question

6．已知命題p：方程$\frac{x^2}{k}+\frac{y^2}{4-k}=1$表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：方程（k-1）x²+（k-3）y²=1表示雙曲線．若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓和雙曲線的方程求出命題p，q的等價條件，結合復合命題之間的關系進行求解即可．

解答 解：當p為真時，k＞4-k＞0，即 2＜k＜4；    …（2分）
當q為真時，（k-1）（k-3）＜0，即 1＜k＜3；…（5分）
若p∨q為真，p∧q為假，
則p和q有且只有一個為真命題，則
（1）若p為真q為假，
則$\left\{\begin{array}{l}2＜k＜4\\ k≤1或k≥3\end{array}\right.$，
即3≤k＜4；…（7分）
（2）q為真p為假，
則$\left\{\begin{array}{l}k≤2或k≥4\\ 1＜k＜3\end{array}\right.$，
即1＜k≤2；…（9分）
∴綜上所述，若p∨q為真，p∧q為假，則k的取值范圍是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）

點評 本題主要考查復合命題真假之間的關系，求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．