Question

17．已知不等式xy≤ax²+2y²，若對(duì)任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，該不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 把已知不等式變形，分離變量a，得到a≥$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，由x∈[1，2]，且y∈[2，3]作出可行域，由$\frac{y}{x}$的幾何意義求出$\frac{y}{x}$的取值范圍，進(jìn)一步求出函數(shù)$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$的最大值，則答案可求．

解答 解：依題意得，當(dāng)x∈[1，2]，且y∈[2，3]時(shí)，
不等式xy≤ax²+2y²，
即a≥$\frac{xy-2{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{y}{x}$-2•$（\frac{y}{x}）^{2}$=$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$．
在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ 2≤y≤3\end{array}$表示的平面區(qū)域，
注意到$\frac{y}{x}$可視為該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知，$\frac{y}{x}$的取值范圍是[1，3]，
此時(shí)$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$的最大值是-1，
因此滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．