Question

11．以愛心曲線A：x²-|x|y+y²=c²（c＞0）在x軸的交點F₁、F₂為橢圓B的焦點，且橢圓B經過A上到原點O的最大距離對應的點M，則橢圓B的離心率為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 通過基本不等式可知當x=y時x²+y²=c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），從而可知M（x，y），將其代入橢圓方程并化簡可知a⁴-3a²c²+c⁴=0，進而計算可得結論．

解答 解：依題意，顯然點M的橫、縱坐標同號，不妨取正數(shù)，
則x²+y²=c²+xy≤c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴當x=y時，x²+y²=c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴x=y=c，即M（x，y），
在愛心曲線A中令y=0可知x=±c，
∴F₁（-c，0）、F₂（c，0），
設橢圓B方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，且a²-b²=c²），
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
整理得：a⁴-3a²c²+c⁴=0，
∴1-3e²+e⁴=0，
解得：e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．