Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（-2，0）若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），當t∈[-$\sqrt{3}$，2]時，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范圍為[1，$\sqrt{13}$]．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{c}$用t表示的坐標，得到t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$的坐標，然后用t表示|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|，根據(jù)t∈[-$\sqrt{3}$，2]求其范圍．

解答 解：由已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（-2，0）若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），設$\overrightarrow{c}$=（x，y），則-2x+0=0，即x=0，所以$\overrightarrow{c}$=（0，y），則t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=（0，t），
所以$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=（1，$\sqrt{3}$-t），
所以，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²=1+（$\sqrt{3}$-t）²，又t∈[-$\sqrt{3}$，2]，
所以當t=$\sqrt{3}$時，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²的最小值為1；當t=$-\sqrt{3}$時，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²的最大值為13；
所以|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范圍為[1，$\sqrt{13}$]；
故答案為：[1，$\sqrt{13}$]．

點評 本題考查了向量的加減法的坐標運算以及向量模的求法．