Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x≠-1）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞b＞0，且c=$\frac{1}{b（a-b）}$，求證：f（a）+f（c）$＞\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）運(yùn)用基本不等式先證a+c≥3，由單調(diào)性可得f（a+c）≥f（3）=$\frac{3}{4}$，運(yùn)用放縮法證明f（a）+f（c）＞f（a+c），即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
由f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（-1，+∞）；
（2）證明：由a＞b＞0，c=$\frac{1}{b（a-b）}$，
即有a+c=（a-b）+b+$\frac{1}{b（a-b）}$≥3$\root{3}{（a-b）•b•\frac{1}{b（a-b）}}$=3，
即有f（a+c）≥f（3）=$\frac{3}{4}$，
又f（a+c）=$\frac{a+c}{a+c+1}$，
f（a）+f（c）=$\frac{a}{a+1}$+$\frac{c}{c+1}$＞$\frac{a}{a+c+1}$+$\frac{c}{a+c+1}$=$\frac{a+c}{a+c+1}$=f（a+c），
即有f（a）+f（c）＞f（a+c）≥$\frac{3}{4}$．
則f（a）+f（c）$＞\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，同時考查不等式的證明方法：放縮法，注意運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．