Question

17．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a，若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，則（　　）

• A． a≤1或a≥$\frac{9}{2}$
• B． a≤$\frac{4}{3}$或a≥$\frac{7}{2}$
• C． a≤1或a≥$\frac{7}{2}$
• D． a≤$\frac{4}{3}$或a≥$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 對x分類討論去絕對值，當x≥a時，f（x）=x（x-a）-a=x²-ax-a  即x²-ax-a≥0恒成立，利用分離常數(shù)法把不等式轉(zhuǎn)換為a≤x+1+$\frac{1}{x+1}$-2，只需求出右式的最小值即可．同理可得當x≤a時的范圍．

解答 解：∵f（x）=x|x-a|-a
當x≥a時，f（x）=x（x-a）-a=x²-ax-a
∴x²-ax-a≥0恒成立，
∴a≤x+1+$\frac{1}{x+1}$-2，
令g（x）=x+1+$\frac{1}{x+1}$，知函數(shù)在[2，3]上遞增，
∴g（x）≥g（2）=$\frac{10}{3}$，
∴a≤$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，顯然x≥a，
故a≤$\frac{4}{3}$；
當x≤a時，f（x）=x（a-x）-a=-x²+ax-a
∴-x²+ax-a≥0 恒成立，
∴a≥x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，
令g（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$，知函數(shù)在[2，3]上遞增，
∴g（x）≤g（3）=$\frac{5}{2}$，
∴a≥$\frac{9}{2}$，顯然x≤a，
故a≥$\frac{9}{2}$；
綜上，a的取值范圍是a≤4/3或a≥9/2．
故選D．

點評 考查了絕對值函數(shù)的分類討論和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，用到分離常數(shù)的方法，應(yīng)熟練掌握．