Question

2．（2015年1月•豐臺(tái)期末•16）如圖．某機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌道是邊長(zhǎng)為1米的正三角形ABC．開(kāi)機(jī)后它從A點(diǎn)出發(fā)，沿軌道先逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)再順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，每運(yùn)動(dòng)6米改變-次運(yùn)動(dòng)方向（假設(shè)按此方式無(wú)限運(yùn)動(dòng)下去）．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)記錄逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的總路程s₁和順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的總路程s₂．x為該機(jī)器人的“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)”，規(guī)定：逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)x=s₁，順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)x=-s₂．機(jī)器人到A點(diǎn)的距離d與x滿足函數(shù)關(guān)系d=f（x）．現(xiàn)有如下結(jié)論：
①f（x）的值域?yàn)閇0.1]；                                            
②f（x）是以3為周期的函數(shù)；
③f（x）是定義在R上的奇函數(shù)：
④f（x）在區(qū)間產(chǎn)[-3．-2]上單調(diào)遞增．
其中正確的有①②④（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)問(wèn)題的情景，對(duì)自變量x分類(lèi)討論，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，分成三段，當(dāng)x∈[-3，0）也分成三段，再根據(jù)所確定的函數(shù)式，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，最后根據(jù)圖象確定各說(shuō)法的正誤．

解答 解：∵x∈[0，3]時(shí)，點(diǎn)P作逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，分段如下：
（1）當(dāng)x∈[0，1]，點(diǎn)P在AB上，f（x）=x；
（2）當(dāng)x∈（1，2]，點(diǎn)P在BC上，在△ABP中運(yùn)用余弦定理，f（x）=$\sqrt{x^2-3x+3}$；
（3）當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，點(diǎn)P在CA上，f（x）=3-x，
又∵x∈[-3，0）時(shí)，點(diǎn)P作順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，函數(shù)時(shí)求解方法同上，
（1）當(dāng)x∈[-1，0），點(diǎn)P在AC上，f（x）=-x；
（2）當(dāng)x∈[-2，-1），點(diǎn)P在BC上，在△ACP中運(yùn)用余弦定理，f（x）=$\sqrt{x^2+3x+3}$；
（3）當(dāng)x∈[-3，-2）時(shí)，點(diǎn)P在BA上，f（x）=3-x，
根據(jù)以上分析，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如右圖，顯然：
①正確；
②正確；
③錯(cuò)誤，該函數(shù)為偶函數(shù)；
④正確．
故填：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及奇偶性，周期性，值域及單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．