Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)C在平面A₁B₁C₁內(nèi)的射影為A₁B₁的中點(diǎn)O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°
（1）求證：AB⊥CC₁；
（2）若CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求點(diǎn)C到平面ABO的距離．

Answer 1

分析 （1）證明A₁B₁⊥平面C₁OC，可得A₁B₁⊥CC₁，利用AB∥A₁B₁，即可證明AB⊥CC₁；
（2）利用等體積，求點(diǎn)C到平面ABO的距離．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)C在平面A₁B₁C₁內(nèi)的射影為A₁B₁的中點(diǎn)O，AC=BC
∴CO⊥A₁B₁，C₁O⊥A₁B₁，
∵CO∩C₁O=O，
∴A₁B₁⊥平面C₁OC，
∵CC₁?平面C₁OC，
∴A₁B₁⊥CC₁，
∵AB∥A₁B₁，
∴AB⊥CC₁；
（2）解：設(shè)AC=a，
∵AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a²，
∴a=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$
設(shè)點(diǎn)C到平面ABO的距離為h，則
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，正確運(yùn)用等體積法轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．