Question

6．△ABC中有一個角為60°，此夾角的兩邊之比為8：5，內(nèi)切圓的面積為12π，則△ABC的面積為40$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意設出c，b，進而根據(jù)余弦定理表示出a，根據(jù)三角形面積公式和內(nèi)切圓圓心將三角形分成三個三角形的面積相等建立等式可求出k與a的值，最后利用正弦定理求出直徑，從而求出所求

解答 解：設A=60°，c：b=8：5，則c=8k，則b=5k
由余弦定理可得a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccos60°}$=7k，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×5k×8k×sin60°=10$\sqrt{3}$k²，
由題意可知△ABC的內(nèi)切圓半徑為2$\sqrt{3}$，
∴10 $\sqrt{3}$k²=$\frac{1}{2}$×（8k+7k+5k）×2 $\sqrt{3}$
∴k=2，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×10×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$；
故答案為：40$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形中的幾何計算，以及余弦定理的應用和三角形的面積公式，屬于中檔題．