Question

8．求（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展開式中的常數(shù)項．

Answer 1

分析 （a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展開式的通項為T_r+1=${C}_{10}^{r}（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$．對$（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$的常數(shù)項進行分析，即可得出結(jié)論．

解答 解：（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展開式的通項為T_r+1=${C}_{10}^{r}（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$．
對$（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$的常數(shù)項進行分析，通項為T_k+1=${C}_{r}^{k}{a}^{k}•（\frac{1}{{a}^{2}}）^{r-k}$=${C}_{r}^{k}•{a}^{3k-2r}$，
令3k=2r，則k=$\frac{2}{3}$r，r=0，3，6，9，k=0，2，4，6，
則（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展開式中的常數(shù)項為${C}_{10}^{0}+{C}_{10}^{3}{C}_{3}^{2}+{C}_{10}^{6}{C}_{6}^{4}+{C}_{10}^{9}{C}_{9}^{6}$=4351．

點評 本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學生的技術(shù)能力，正確運用公式是關(guān)鍵．