Question

8．函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在[-1，0]與[4，5]上的單調(diào)性相同，在[0，2]與[4，5]上的單調(diào)性相反．
（1）求c的值；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）取得極值？并判斷處這些極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)與2、4的大小關(guān)系？
（3）f（x）的圖象上是否存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使f（x）在M處的切線斜率為3b？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f′（0）=0，從而求出c的值；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而判斷出結(jié)論；（3）先求出$\frac{a}$的范圍，假設(shè)存在，得到方程無解，從而判斷結(jié)果．

解答 解：（1）由條件可知f（x）在區(qū)間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性，
∴x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）由（1）得：f′（x）=3ax²+2bx，
令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得：x₁=0，x₂=-$\frac{2b}{3a}$，
∴當(dāng)x=0或x=-$\frac{2b}{3a}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
顯然0＜2，
又f（x）在區(qū)間[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
∴2≤-$\frac{2b}{3a}$≤4；
（3）由（2）得：2≤-$\frac{2b}{3a}$≤4，
解得：-6≤$\frac{a}$≤-3，
假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線斜率為3b，
則f′（x₀）=3b，即3${{a}_{0}}^{2}$+2bx₀-3b=0，
∴△=4ab（$\frac{a}$+9），
∵-6≤$\frac{a}$≤-3，
∴ab＜0，$\frac{a}$+9＞0，
∴△＜0，x₀無解，
故不存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使f（x）在M處的切線斜率為3b．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的切線方程問題，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．