Question

17．已知離心率為$\frac{4}{5}$的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為$2\sqrt{34}$（1）求橢圓及雙曲線方程   
（2）設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連BP交橢圓于M，若$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MP}$，求三角形ABM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目條件列式求得橢圓方程和雙曲線方程．
（2）A （-5，0）B （5，0）設(shè)M（x，y）為橢圓上點(diǎn)，P（2x-5，2y）代入橢圓方程，求得坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求得三角形面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+{b^2}=34}\\{\frac{c}{a}=\frac{4}{5}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+{b^2}=34}\\{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{16}{25}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=25}\\{{b^2}=9}\end{array}}\right.$，
所以橢圓方程  $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$雙曲線方程$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$；
（2）A （-5，0）B （5，0）設(shè)M（x，y）為橢圓上點(diǎn)，P（2x-5，2y），
代入$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{（2x-5{）^2}}}{25}-\frac{{4{y^2}}}{9}=1}\\{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}\end{array}}\right.$得：2x²-5x-26=0，解得x₁=5（舍去），或 $\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=-\frac{5}{2}}\\{{y_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}×10×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}=\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的性質(zhì)應(yīng)用和圓錐曲線中三角形面積的求法，屬于中檔題型．