Question

7．若數(shù)列{a_n}滿足a₂-a₁＜a₃-a₂＜a₄-a₃＜…＜a_n+1-a_n＜…，則稱數(shù)列{a_n}為“上進數(shù)列”，若數(shù)列{a_n}是上進數(shù)列，且其通項a_n與的前n項和S_n（n∈N^*）滿足：S_n=2a_n+3λ-1（n∈N^*），則λ的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列遞推公式得到數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再根據(jù)新定義，即可求出λ的范圍．

解答 解：∵S_n=2a_n+3λ-1（n∈N^*），
n≥2時，S_n-1=2a_n-1+3λ-1，
兩式相減得a_n=2a_n-1．
故數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
當n=1時，a₁=1-3λ
∴a_n=（1-3λ）2^n-1，
計算可得a_n+1-a_n=（1-3λ）2^n-1，a_n-a_n-1=（1-3λ）2^n-2，
由此可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=（1-3λ）2^n-2＞0
故1-3λ＞0，解得λ＜$\frac{1}{3}$
故λ的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$），
故答案為：（-∞，$\frac{1}{3}$）

點評 本題考查了遞推關系、不等式的解法、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．