Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{9}$，+∞）
• B． （-$\frac{5}{27}$，1）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，-$\frac{5}{27}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1，
當(dāng)x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（1）為極小值，f（-$\frac{1}{3}$）為極大值．
∵f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∴當(dāng)f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．
即a+$\frac{7}{25}$＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-$\frac{7}{25}$）∪（1，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．