【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,為棱的中點,為棱的動點.

1)求證:平面

2)若二面角的余弦值為,求點的位置.

【答案】1)證明見解析;(2)點為線段的中點.

【解析】

1)分析出是等邊三角形,由三線合一得出,由,由,由底面,可得出,然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面;

2)以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計算出平面和平面的法向量、,由計算出實數(shù)的值,即可確定點的位置.

1)如下圖所示,由于四邊形是菱形,則

,是等邊三角形,的中點,,

.

底面,平面,,

,平面,平面;

2)由(1)知,,且底面,以點為坐標(biāo)原點,、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則點、、、,設(shè),

,,

設(shè)平面的一個法向量為

,即,得,

,則,,則平面的一個法向量為.

同理可得平面的一個法向量為,

由題意可得,解得.

因此,當(dāng)點為線段的中點時,二面角的余弦值為.

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