Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在使得函數(shù)在上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或。

【解析】

試題分析：（1），所以，此時(shí)函數(shù)；（2）在（1）的條件下，函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則應(yīng)滿足或，解得：或；（3）函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最大值應(yīng)在時(shí)取得，即，解得：與矛盾，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，此時(shí)函數(shù)最大值應(yīng)在或或處取得，經(jīng)驗(yàn)證，在及處取得最大值均不符合題意，若在處取得最大值，則，整理得，所以或，此時(shí)對(duì)稱軸分別為和，均符合題意。

試題解析：（1）∵ 解得

∴

（2）由（1）可得

其對(duì)稱軸方程為

若在上為增函數(shù)，則，解得

若在上為減函數(shù)，則，解得

綜上可知，的取值范圍為或

（3）假設(shè)存在滿足條件的，則的最大值只可能在處取得，

其中

若，則有 得的值不存在，舍去

若，則有，解得

而時(shí)，對(duì)稱軸，

則最大值應(yīng)在處取得，與條件矛盾，舍去

若，則，且，

化簡(jiǎn)得，解得或 …（13分）

綜上可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上的最大值是4.