Question

19．某家轎車在x年的使用過程中支出，購車費(fèi)12萬，保險(xiǎn)，養(yǎng)路，燃油費(fèi)等各種費(fèi)用每月共計(jì)1萬元，維修費(fèi)（0.1x²+0.1x）萬元，使用x年后價(jià)值為（10-0.8x）萬元，顯然汽車年平均支出y（萬元）是x的函數(shù)．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）探究函數(shù)的變化規(guī)律，并證明什么時(shí)候平均支出最少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意直接列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的范圍；
（2）先化簡函數(shù)解析式，再利用基本不等式判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值以及x的值．

解答 解：（1）由題意得，y=$\frac{12+12x+（0.1{x}^{2}+0.1x）-（10-0.8x）}{x}$
=$\frac{0.1{x}^{2}+12.9x+2}{x}$（x∈N₊）；
（2）由（1）可得，y=$0.1x+\frac{2}{x}$+12.9，
由基本不等式得，$0.1x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{0.1x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{0.2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$0.1x=\frac{2}{x}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x²=20，
則函數(shù)y在（0，$\sqrt{20}$）遞減，在（$\sqrt{20}$，+∞）遞增，
因?yàn)閤取正整數(shù)，所以x取4或5，
當(dāng)x=4時(shí)，y=13.8；當(dāng)x=5時(shí)，y=13.8，
所以使用4或5年時(shí)平均支出最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，以及基本不等式的應(yīng)用，注意自變量的實(shí)際意義，屬于中檔題．