Question

如圖，在幾何體ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：平面FBC⊥平面ACFE；
（2）點M在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件利用勾股定理求出BC⊥AC．由平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACFE．由此能證明平面ACFE⊥平面FBC．
（2）建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，令FM=λ（0≤λ≤

3

），利用向量法能求出cosθ的取值范圍．

解答： （1）證明：在四邊形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．
又∵BC?平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）
（2）解：由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF
為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令FM=λ（0≤λ≤

3

），
則C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（λ，-1，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，
由

n • AB =0 n • BM =0

，得

- 3 x+y=0 λx-y+z=0

取x=1，則

n

=（1，

3

，

3

-λ），
∵

m

=（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，
∴cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

1+3+( 3 -λ)2×1

=

1

( 3 -λ)2+4

，…（10分）
∵0≤λ≤

3

，∴當(dāng)λ=0時，cosθ有最小值

7

7

，
當(dāng)λ=

3

時，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．…（12分）

點評：本題考查平面與平垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．