Question

12．在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上（E在F的左側(cè)），且AB=3，EF=1，tan∠EAF=$\frac{1}{4}$，則線段BE長為$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)BE=x，則tan∠BAE=$\frac{x}{3}$，使用兩角和的正切公式計(jì)算tan∠BAF，又tan∠BAF=$\frac{x+1}{3}$，列出方程解出x．

解答 解：設(shè)BE=x，則BF=BE+EF=x+1．
則tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{x}{3}$
∴tan∠BAF=tan（∠BAE+∠EAF）=$\frac{tan∠BAE+tan∠EAF}{1-tan∠BAEtan∠EAF}$=$\frac{\frac{x}{3}+\frac{1}{4}}{1-\frac{x}{3}•\frac{1}{4}}$=$\frac{4x+3}{12-x}$．
∵tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{x+1}{3}$，
∴$\frac{4x+3}{12-x}$=$\frac{x+1}{3}$．
解得x=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和的正切公式，解三角形，屬于基礎(chǔ)題．