Question

4．若函數(shù)f（x）=1+$\frac{a-1}{{{2^x}+1}}$為奇函數(shù)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx，x＞0}\\{{e}^{ax}，x≤0}\end{array}$，則不等式g（x）＞1的解集為（-∞，0）∪（0，e^-1）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用f（0）=0求出a的值，利用分段函數(shù)的不等式進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=1+$\frac{a-1}{2}$=0，得a=-1，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，}&{x＞0}\\{{e}^{-x}，}&{x≤0}\end{array}\right.$，
若x＞0，由g（x）＞1得-lnx＞1，即lnx＜-1，得0＜x＜e^-1，
若x≤0，由g（x）＞1得e^-x＞1，即-x＞0，則x＜0，此時x＜0，
綜上不等式的解集為（-∞，0）∪（0，e^-1），
故答案為：（-∞，0）∪（0，e^-1）

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用f（0）=0先求出a的值，以及根據(jù)分段函數(shù)的表達式，利用分類討論進行求解是解決本題的關(guān)鍵．