Question

4．如圖所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，點E為AC的中點，$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{15}{2}$，則AB的長度為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可以D為坐標原點，BC，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并設BD=x，從而CD=4-x，這樣便可寫出圖形上各點的坐標，從而可求出向量$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BE}$的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}=\frac{15}{2}$進行向量數(shù)量積的坐標運算便可建立關(guān)于x的方程，解出x，從而得出點B的坐標，從而便可得出AB的長度．

解答 解：以D為原點，分別以BC，AD所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設BD=x，CD=4-x，則：
D（0，0），A（0，-1），B（-x，0），C（4-x，0），E（$\frac{4-x}{2}，-\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{DC}=（4-x，0），\overrightarrow{BE}=（\frac{4+x}{2}，-\frac{1}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}=\frac{16-{x}^{2}}{2}+0=\frac{15}{2}$；
∵x＞0，∴解得x=1；
∴B（-1，0），又A（0，-1）；
∴$|AB|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用向量的坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算，兩點間的距離公式．