Question

5．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)g（x）=f（x）+2x+1在R上恒為增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[-1，1]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，利用奇偶函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）將函數(shù)g（x）=f（x）+2x+1寫成分段函數(shù)的形式，分別確定各段的單調(diào)性，即可建立不等式組，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）根據(jù)a和區(qū)間的關(guān)系，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，定義域?yàn)镽，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．   
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．                                 
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)． 
（2）g（x）=x|x-a|+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x+1，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x+1，x＜a}\end{array}\right.$在R上恒為增函數(shù)，
∴y=x²+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函數(shù)，且y=-x²+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2-a}{2}≤a}\\{\frac{2+a}{2}≥a}\end{array}\right.$，
∴-2≤a≤2．
（3）函數(shù)f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)的圖象如圖，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-1）=-|a+1|．
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)增，
此時(shí)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-1）=|a+1|=a+1．
③當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)減，在（$\frac{a}{2}$，1]上單調(diào)增，此時(shí)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
④當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，此時(shí)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-1）=-|1+a|=1+a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是合理化去絕對(duì)值符號(hào)．