Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，Q為橢圓C上的一點，且△QF₁O（O為坐標原點）為正三角形，若射線QF₁，QO與橢圓分別相交于點P，R，則△QF₁O與△QPR的面積的比值為$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．

Answer 1

分析 設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），求得Q（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），可得R（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），△QF₁F₂是直角三角形，運用橢圓的定義可得a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，b²=a²-c²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²，求得橢圓的方程，將QF₁的方程y=$\sqrt{3}$（x+c），代入橢圓方程，解得Q，P的縱坐標，分別求得△QF₁O與△QPR的面積，即可得到所求比值．

解答 解：設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），△QF₁O為正三角形，
可設Q（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），可得R（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
由|OQ|=|OF₁|=|OF₂|=c，可得△QF₁F₂是直角三角形，
由橢圓的定義可得c+$\sqrt{3}$c=2a，
即有a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，b²=a²-c²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$=1，
由QF₁的方程y=$\sqrt{3}$（x+c），代入橢圓方程消x化簡可得，
$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}$y²-2cy-$\frac{3}{2}$c²=0，
解得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c或y=-$\frac{3\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}$c，
則△QF₁O的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
△QPR的面積為2S_△QPO=2•$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y_Q-y_P|
=c|$\frac{\sqrt{3}}{2}$c+$\frac{3\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}$c|=（3-$\sqrt{3}$）c²，
即有△QF₁O與△QPR的面積的比值為$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及橢圓的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．