Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且ccosA，bcosB，acosC成等差數(shù)列．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=$\sqrt{10}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列和正弦定理以及和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，由三角形的內(nèi)角的范圍可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）把已知數(shù)代入余弦定理整體可得ac=2，代入三角形的面積公式可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中ccosA，bcosB，acosC成等差數(shù)列，
∴2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理可得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sin（C+A）=sinB，由B∈（0，π）可得sinB＞0，
約掉sinB可得cosB=$\frac{1}{2}$，再由B∈（0，π）可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a+c=$\sqrt{10}$，b=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代入數(shù)據(jù)可得4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=10-3ac，解得ac=2，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及整體思想和三角形的面積公式，屬中檔題．