Question

16．函數(shù)f（x）=xlog₂（x+a）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≥t在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=log₂（1+a）=1，解方程可得a值，可得奇偶性；
（2）由題意只需求函數(shù)f（x）=xlog₂（x+1）在[1，+∞）上的最小值，由函數(shù)單調(diào)遞增和恒成立可得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlog₂（x+a）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），
∴f（1）=log₂（1+a）=1，解得a=1
∴f（x）=xlog₂（x+1），定義域?yàn)椋?1，+∞）
∴判斷函數(shù)f（x）非奇非偶；
（2）由（1）可得xlog₂（x+1）≥t在[1，+∞）上恒成立，
只需求函數(shù)f（x）=xlog₂（x+1）在[1，+∞）上的最小值，
易得函數(shù)f（x）=xlog₂（x+1）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴最小值為f（1）=1，故t≤1

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及恒成立問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．