Question

4．已知函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的局部對(duì)稱點(diǎn)．
（1）若a，b，c∈R，證明函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；
（2）是否存在常數(shù)m，使得定義在區(qū)間[-1，2]上的函數(shù)f（x）=4^x+2^x+m有局部對(duì)稱點(diǎn)？若存在，求出m的范圍，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義構(gòu)造方程，再判斷方程是否有解，問(wèn)題得以解決．
（2）根據(jù)定義構(gòu)造方程4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0…（*）在R上有解，再利用換元法，設(shè)t=2^x+2^-x，方程在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求出m的范圍即可．

解答 解：（1）證明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
代入f（-x）=-f（x） 得ax³+bx²+cx-b-ax³+bx²-cx-b=0得到關(guān)于x的方程2bx²-2b=0，b≠0時(shí)，x=±1
當(dāng)b=0，x∈R等式恒成立，
所以函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；
（2）∵f（x）=4^x+2^x+m
當(dāng)f（-x）=4^-x+2^-x+m時(shí)，f（-x）=-f（x）可化為4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0，
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇-1，2]，所以方程4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0在[-1，2]上有解．
令t=2^x+2^-x∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{4}$]，則2-2m=t²+t．t∈$[\frac{5}{2}，\frac{17}{4}]$，
$\frac{9}{4}$-2m=t²+t+$\frac{1}{4}$=（t+$\frac{1}{2}$）²∈$[9，\frac{361}{16}]$，
解得m∈$[-\frac{325}{32}，-\frac{27}{8}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題依據(jù)新定義，考查了方程的解得問(wèn)題以及參數(shù)的取值范圍，以及換元的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．