Question

12．直線l過點P（-2，0）且傾斜角為150⁰，以直角坐標系的原點為極點，x軸正方向為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=15．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）直線l交曲線C于A，B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l過點P（-2，0）且傾斜角為150°，利用斜率計算公式及其同角三角函數(shù)基本關系式即可得出可得l的參數(shù)方程．由曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=15，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標方程．
（2）把l的參數(shù)方程代入C得：${t^2}+3\sqrt{3}t-7=0$，設A，B對應參數(shù)t₁，t₂，利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l過點P（-2，0）且傾斜角為150°，即斜率為tan150°=$\frac{sin15{0}^{°}}{cos15{0}^{°}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
可得l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}（t}\right.$為參數(shù)）．
∵曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=15，
∴直角坐標方程C為：x²+y²-2x-15=0．
（2）把l的參數(shù)方程代入C得：${t^2}+3\sqrt{3}t-7=0$，
設A，B對應參數(shù)t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=-3\sqrt{3}，{t_1}•t{\;}_2=-7$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-3\sqrt{3}）^{2}-4×（-7）}$=$\sqrt{55}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．