Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，Q是棱PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求證：平面PAC⊥平面BDQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC交BD于點O，連結(jié)OQ，證明OQ∥PC．即可利用直線與平面平行的判定定理證明PC∥平面BDQ．
（Ⅱ）連結(jié)OP．說明BD⊥AC，BD⊥PO，然后證明BD⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面BDQ．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：設(shè)AC交BD于點O，連結(jié)OQ．（1分）
因為 底面ABCD為菱形，
所以 O為AC中點．
因為 Q是PA的中點，
所以 OQ∥PC．（4分）
因為 OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．（5分）
（Ⅱ）證明：連結(jié)OP．（6分）
因為 底面ABCD為菱形，
所以 BD⊥AC，O為BD中點．（8分）
因為 PB=PD，
所以 BD⊥PO．（10分）
又因為：AO∩AC=0，
所以 BD⊥平面PAC．（11分）
因為 BD?平面BDQ，
所以 平面PAC⊥平面BDQ．（13分）．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．