Question

14．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax²+bx-a（|x|≤1）．
（1）若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，求證：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）當(dāng)b=1，若f（x）的最大值為$\frac{17}{8}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接代入|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，求出a，b的范圍，然后利用絕對(duì)值的性質(zhì)證明即可．
（2）利用條件以及（1）的結(jié)果，討論a的范圍求解函數(shù)的最值得到方程，求出a的值．

解答 （1）證：∵|f（0）|=|a|≤1；
|f（1）|=|b|≤1；
∴|f（x）|=|a（x²-1）+bx|≤|a||x²-1|+|b||x|≤|x²-1|+|x|，
∵-1≤x≤1，
∴|f（x）|≤|x²-1|+|x|=1-x²+|x|=-（|x|-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴$|{f（x）}|≤\frac{5}{4}$．
（2）解：b=1當(dāng)|a|≤1時(shí)，∵$f（x）≤\frac{5}{4}$，f（x）的最大值為$\frac{17}{8}$矛盾，∴|a|＞1
當(dāng)a＞1時(shí)，∵$\frac{-1}{2a}∈（-1.0）$，∴f（x）在$（-1，-\frac{1}{2a}）$是減函數(shù)，$（-\frac{1}{2a}，1）$是增函數(shù)，
∵f（1）=1，f（-1）=-1，
∴f（x）_max=f（1）=1不符題意．
當(dāng)a＜-1時(shí) $-\frac{1}{2a}（-10，1）$，∴f（x）在$（-1，-\frac{1}{2a}）$是增函數(shù)，
在$（-\frac{1}{2a}，1）$是減函數(shù)，
∴$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{2a}）=-a-\frac{1}{4a}=\frac{17}{8}$-8a²-2=17a，即8a²+17a+2=0，
∴$a=-\frac{1}{8}$或a=-2，
∵a＜-1，
∴a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函絕對(duì)值的函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想的應(yīng)用．