Question

2．給出下列命題：
（1）?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＞x；
（2）?x₀∈R，使得sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$；
（3）?x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$；
（4）?x₀∈R，使得lnx₀=x₀-1．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)線判斷即可；
（2）（4）利用特殊值法可判斷；
（3）通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．

解答 解：（1）?x∈（0，$\frac{π}{2}$），根據(jù)正弦線易判斷sinx＜x，故錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)x₀=$\frac{π}{4}$時(shí)，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$，故正確；
（3）?x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$，
整理不等式e^x＜$\frac{1}{1-x}$，
e^x-xe^x-1＜0，
令f（x）=e^x-xe^x-1，
f'（x）=-xe^x＜0，
∴f（x）在（0，1）上遞減，
∵f（0）=0，f（1）=-1，故存在x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$，故正確；
（4）當(dāng)x₀=1時(shí)，lnx₀=x₀-1，故正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，對(duì)存在問題的解題方法和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．