Question

若函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²-2a（a+1）x 在區(qū)間（-1，1）上不具有單調性，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求導函數，需要分類討論，當對稱軸在（-1，1）時，只要求f′（

1-a

2

）＜0即可，當當對稱軸不在（-1，1）時只要求f′（-1）•f′（1）＜0，分別解不等式，得到a的范圍

解答： 解：∵f′（x）=x²+（a-1）x-2a（a+1）=（x+2a）（x-a-1），
∴對稱軸為x=

1-a

2

，
當-1＜

1-a

2

＜1時，即-1＜a＜3，要使函數f（x）不具備單調性，
∴f′（

1-a

2

）＜0，
即

(1-a)2

4

-

(1-a)2

2

-2^a-2a＜0，
整理得（3a+1）²＜0，無解，
當-

1-a

2

≥1，或

1-a

2

≤-1時，即a≤-1或a≥3時，
∴f′（-1）•f′（1）＜0，
即（1+1-a-2a²-2a）（1+a-1-2a²-2a）＜0，
整理得，a（2a-1）（a+2）（2a+1）＜0，（*）
當a≥3時，（*）不成立，
當a＜-1時，解得-2＜a≤-1
綜上所述實數a的取值范圍是（-2，1]

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，培養(yǎng)了學生的分類討論的能力，運算能力，屬于中檔題