Question

13．已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，AD是圓的直徑，若滿(mǎn)足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，則$|\overrightarrow{BC}|$=2．

Answer 1

分析 如圖所示，利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$ 為4cos²β+4cos²α，△ABC中，由余弦定理可得 BC²=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β）．再由由 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，可得α+β=$\frac{π}{2}$，cosα=sinβ，從而求得$|\overrightarrow{BC}|$的值．

解答 解：如圖：設(shè)∠CAD=α，∠BAD=β，則|$\overrightarrow{AC}$|=2cosα，|$\overrightarrow{AB}$|=2cosβ．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=2•2cosβ•cosβ+2•2cosα•cosα=4cos²β+4cos²α，
△ABC中，由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）
=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β）．
故由 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，可得 4cos²β+4cos²α=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β），
∴cos（α+β）=0，α+β=$\frac{π}{2}$，∴cosα=sinβ，
∴則${\overrightarrow{BC}}^{2}$=4cos²β+4cos²α=4，∴$|\overrightarrow{BC}|$=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．