Question

14．已知三個(gè)集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-（a+2）x+2a=0}，C={x|bx²-x+1=0}，問(wèn)同時(shí)滿足B?A，A∪C=A的實(shí)數(shù)a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值情況；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 先求得集合A、B；然后結(jié)合已知條件得到C⊆A，則C中元素有以下三種情況：①C=∅；②C={2}或{3}；③C={2，3}．分別求得這三種情況下b的取值范圍．

解答 解：∵A={x|x²-5x+6=0}={2，3}，B={x|x²-（a+2）x+2a=0}={x|（x-2）（x-a）=0}，
又∵B?A，
∴a=2．
∵A∪C=A，
∴C⊆A，則C中元素有以下三種情況：
①若C=∅，即方程bx²-x+1=0無(wú)實(shí)根，
∴△=1-4b＜0，
∴b＞$\frac{1}{4}$，
②若C={2}或{3}，即方程bx²-x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴△=1-4b=0，
∴b=$\frac{1}{4}$，此時(shí)C={2}符合題意． 
③若C={2，3}，則$\frac{1}$=2+3=5，$2×3=\frac{1}$，不存在這樣的b．
綜上所述，a=2，b≥$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，具有一定的難度．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．