Question

5．已知a＞0，命題p：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x+a，x∈R，3≤f（x）≤6恒成立：命題q：g（x）=log₃（ax²+ax+1）的定義域?yàn)镽，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出p，q為真命題時(shí)m的范圍，再根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到p，q一真一假，繼而求出a的范圍．

解答 解：若命題p為真命題：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x+a=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+a=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$+a，
∵-1≤sin2x≤1，
∴a≤f（x）≤a+1，
∵3≤f（x）≤6恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1≤6}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤5，
若命題q為真命題：g（x）=log₃（ax²+ax+1）的定義域?yàn)镽，
∴ax²+ax+1＞0恒成立，
∴△=a²-4a＜0，
解得0＜a＜4，
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜3，或a＞5}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3≤a≤5}\\{a≥4}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜3，或4≤a≤5
故a的取值范圍為（0，3）∪[4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)調(diào)性、三角函數(shù)的和差公式，二倍角公式，復(fù)合命題的真假判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．