Question

8．在平面直角坐標系xOy中，點M（x，y）的坐標滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤m}\end{array}\right.$，已知N（1，-1），且$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值為-1，則實數(shù)m=5．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量數(shù)量積的定義將目標函數(shù)進行化簡，結(jié)合z的幾何意義進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值為-1，
∴x-y的最小值為-1，
設(shè)z=x-y，解：作作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=x-y，得y=x-z表示，斜率為1縱截距為-z的一組平行直線，
∵x-y的最小值為-1，
∴作出直線x-y=-1，
則直線x-y=-1與y=2x-1相交于A，此時A為一個邊界點，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此時A也在直線x+y=m上，
則m=2+3=5，即直線為x+y=5，
平移直線y=x-z，當直線y=x-z經(jīng)過點A時，直線y=x-z的截距最大，此時z最小，此時z_min=2-3=-1，
滿足條件．
故m=5，
故答案為：5．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用z的幾何意義以及向量數(shù)量積將目標函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．，注意利用數(shù)形結(jié)合來解決．