Question

2．已知數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$$+\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$$+\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$，…+$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$，…那么數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得，a_n=$\frac{1}{2}$n，化簡(jiǎn)$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，再由裂項(xiàng)相消求和即可得到所求．

解答 解：由題意可得a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{n+1}$=$\frac{1}{2}$n，
$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，
即有前n項(xiàng)和為Sn=4[$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]=2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．
故答案為：2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．