Question

16．已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，求證：
（1）cos（2A+B+C）=-cosA；
（2）sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$；
（3）tan$\frac{A+B}{4}$=-tan$\frac{3π+C}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用cos（π+α）=-cosα進(jìn)行證明．
（2）由已知條件利用$sin（\frac{π}{2}-α）=cosα$進(jìn)行證明．
（3）由已知條件利用tan（π-α）=-tanα進(jìn)行證明．

解答 證明：（1）∵A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∴A+B+C=π，
∴cos（2A+B+C）=cos（π+A）=-cosA，
∴cos（2A+B+C）=-cosA．
（2）∵A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∴A+B+C=π，
∴sin$\frac{B+C}{2}$=$sin（\frac{π-A}{2}）$=sin（$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$，
∴sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$．
（3）∵）∵A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∴A+B+C=π，
∴tan$\frac{A+B}{4}$=tan$\frac{π-C}{4}$=-tan（$π-\frac{π-C}{4}$）=-tan$\frac{3π+C}{4}$．
∴tan$\frac{A+B}{4}$=-tan$\frac{3π+C}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)用．