Question

11．已知函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞1}\\{\sqrt{{1-x}^{2}}，-1≤x≤1}\end{array}\right.$則${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=$\frac{π}{2}$+e²-e．

Answer 1

分析 由題意可得${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$，由定積分的幾何意義和定積分的計(jì)算可得．

解答 解：∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞1}\\{\sqrt{{1-x}^{2}}，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
∴${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$，
由定積分的幾何意義可知=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$表示上半圓x²+y²=1（y≥0）的面積，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，又${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$=e^x|${|}_{1}^{2}$=e²-e，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$=$\frac{π}{2}$+e²-e，
故答案為：$\frac{π}{2}$+e²-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的計(jì)算，涉及定積分的意義，屬基礎(chǔ)題．